Hypothesentest Normalverteilung
 
Eingabe von , n, , und -> Hypothesentest (zweiseitig)
Einzugeben sind:
Stichprobenmittel , St.-umfang n, Irrtumswahrscheinlichkeit , Sollwert und Standardabweichung .
 
:: Voreinstellung (287) überschreiben :?:
:: Voreinstellung (25) überschreiben :?:
:: Voreinstellung (290) überschreiben :?:
:: Voreinstellung (6) überschreiben :?:

:.: "Annahmebereich" :.: :: auf vier Stellen :?:
::
::
:: , und auch eingeben!
:.: beta-Fehler :.: ::
Erläuterungen
Mehr zur Stochastik:
Binomialverteilung
globale Näherung BV
Normalverteilung
Konf.-Int. (binomial)
Konf.-Int. (normal)
Hyp.test 2-s. (normalv.)
Hyp.test 1-s. (normalv.)

Vorbemerkung: Statt alpha-Fehler sagt man auch Fehler 1.Art, statt beta-Fehler auch Fehler 2.Art.

Man kennt die Sollwerte der Grundgesamtheit, nämlich und .
Man nimmt eine Stichprobe vom Umfang n und ermittelt einen Durchschnittswert (Stichprobenmittel).
Die Frage ist, ob man bei einer vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit die Nullhypothese ("Der Sollwert ist weiter gültig, d.h. gleich dem wahren Wert . / = ") verwerfen muss oder nicht.

Beispiel:

  • Der Sollwert für die durchschnittliche Motorleistung sei 290 kW, die Standardabweichung ist 6 kW.
  • Bei der Untersuchung von 25 Motoren findet man einen Durchschnittswert von 287 kW; es gilt die Standardabweichung der Grundgesamtheit (6 kW).
  • Kann man weiter davon ausgehen, dass der Vorgabewert 290 kW (Durchschnitt) weiter gilt, oder muss man von einer Veränderung des Wertes ausgehen (Folge: Produktionsstopp, Überprüfung, ...)
  • Man muss nun noch eine Irrtumswahrscheinlichkeit vorgeben.
    Dieses gibt an, wie hoch die Wahrscheinlichkeit sein soll, dass man die Nullhypothese verwirft (d.h. die Produktion stoppt) obwohl ordnungsgemäß produziert wird, die Abweichung in der Stichprobe also zufällig ist.
  • -Fehler: Nullhypothese wird verworfen obwohl richtig.
    Je kleiner dieses gewählt wird, desto größer ist die Angst davor, die Nullhypothese fälschlicherweise zu verwerfen (-Fehler).
  • Der Annahmebereich [-c();+c()] gibt an, für welche Werte von die Nullhypothese nicht verworfen wird.

Es ist klar, dass der Annahmebereich bei sinkender Irrtumswahrscheinlichkeit immer größer wird.
Der Begriff Annahmebereich ist übrigens irreführend. Für Stichprobenmittel aus diesem Annahmebereich wird die Nullhypothese nicht angenommen, sondern lediglich - wie erwähnt - nicht verworfen!

  • beta-Fehler: Nullhypothese wird nicht verworfen obwohl falsch (d.h. die Maschine ist verstellt und keiner merkts).
  • Je größer der Annahmebereich, je kleiner also , desto größer wird auch der beta-Fehler.
  • Für die Höhe des beta-Fehlers ist es natürlich wichtig, wie weit der wahre Wert vom Sollwert abweicht. (Wenn er nur wenig abweicht, wird man das nur schwer merken, beta ist dann also groß.)
    Zusätzlich zu , und muss also auch der wahre Wert angegeben werden.
    (Es handelt sich also um eine Rechnung der Art: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit einer Fehlentscheidung des beta-Typs, wenn gilt =...)
     
  • werden folgen.
     
     vielleicht.