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Vorbemerkung: Statt alpha-Fehler
sagt man auch Fehler 1.Art, statt beta-Fehler auch Fehler
2.Art.
Man kennt die Sollwerte der Grundgesamtheit, nämlich
und
.
Man nimmt eine Stichprobe vom Umfang n und ermittelt einen
Durchschnittswert (Stichprobenmittel).
Die Frage ist, ob man bei einer vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit
die Nullhypothese ("Der Sollwert
ist weiter gültig, d.h. gleich dem wahren Wert .
/ =
")
verwerfen muss oder nicht.
Beispiel:
- Der Sollwert für die durchschnittliche Motorleistung
sei 290 kW, die Standardabweichung ist 6 kW.
- Bei der Untersuchung von 25 Motoren findet man einen
Durchschnittswert von 287 kW; es gilt die Standardabweichung
der Grundgesamtheit (6 kW).
- Kann man weiter davon ausgehen, dass der Vorgabewert
290 kW (Durchschnitt) weiter gilt, oder muss man von einer
Veränderung des Wertes ausgehen (Folge: Produktionsstopp,
Überprüfung, ...)
- Man muss nun noch eine Irrtumswahrscheinlichkeit
vorgeben.
Dieses
gibt an, wie hoch die Wahrscheinlichkeit sein soll, dass
man die Nullhypothese verwirft (d.h. die Produktion stoppt)
obwohl ordnungsgemäß produziert wird, die Abweichung
in der Stichprobe also zufällig ist.
- -Fehler:
Nullhypothese wird verworfen obwohl richtig.
Je kleiner dieses
gewählt wird, desto größer ist die Angst
davor, die Nullhypothese fälschlicherweise zu verwerfen
(-Fehler).
- Der Annahmebereich [-c();+c()]
gibt an, für welche Werte von
die Nullhypothese nicht verworfen wird.
Es ist klar, dass der Annahmebereich bei sinkender Irrtumswahrscheinlichkeit
immer größer wird.
Der Begriff Annahmebereich ist übrigens irreführend.
Für Stichprobenmittel aus diesem Annahmebereich wird
die Nullhypothese nicht angenommen, sondern lediglich -
wie erwähnt - nicht verworfen!
- beta-Fehler: Nullhypothese wird nicht verworfen obwohl
falsch (d.h. die Maschine ist verstellt und keiner merkts).
- Je größer der Annahmebereich, je kleiner
also ,
desto größer wird auch der beta-Fehler.
- Für die Höhe des beta-Fehlers ist es natürlich
wichtig, wie weit der wahre Wert vom Sollwert abweicht.
(Wenn er nur wenig abweicht, wird man das nur schwer merken,
beta ist dann also groß.)
Zusätzlich zu ,
und
muss also auch der wahre Wert
angegeben werden.
(Es handelt sich also um eine Rechnung der Art: Wie hoch
ist die Wahrscheinlichkeit einer Fehlentscheidung des
beta-Typs, wenn gilt =...)
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